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快速幂取模算法

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。我们先从简单的例子入手：求a^b mod c

算法1.直接设计这个算法：

int ans = 1;for(int i = 1;i<=b;i++){   ans = ans * a;}ans = ans % c;

缺点：这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先看这样一个公式：a^b mod c = (a mod c)^c mod c 

于是不用思考的进行了改进：

算法2.改进算法：

int ans = 1;a = a % c; //加上这一句for(int i = 1;i<=b;i++){   ans = ans * a;}ans = ans % c;

• 读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

算法3.进一步改进算法：

int ans = 1;a = a % c; //加上这一句for(int i = 1;i<=b;i++){   ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余}ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

算法4.快速幂算法：

快速幂算法依赖于以下明显的公式： 

另一种证明方式：

int PowerMod(int a, int b, int c){    int ans = 1;    a = a % c;    while(b>0) {        if(b % 2 = = 1)        ans = (ans * a) % c;        b = b/2;        a = (a * a) % c;    }    return ans;}

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。

作者：wuyudong 

出处：  ps：本文参考自网络

引申例题： 

2011

总时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB 

描述  已知长度最大为200位的正整数n，请求出2011^n的后四位。  输入  第一行为一个正整数k，代表有k组数据，k<=200接下来的k行，

每行都有一个正整数n，n的位数<=200 

输出  每一个n的结果为一个整数占一行，若不足4位，去除高位多余的0  样例输入  3  5  28  792  样例输出  1051  81  5521

思路：快速幂的经典应用。就是求2011的n次方模10000的余数。

高精度方法：

#include
   
    #include
    
     #include
     
      using namespace std;int b,g,t;char s[300];bool f[5005];int as[300];void fff(){    int k;    for(k=t;k>=1;k--)    {        if(as[k]%2==1) as[k-1]+=10;        as[k]/=2;    }    if(as[t]==0) t--;    if(as[0]%2==1) {g=1;as[0]/=2;}    else{g=0;as[0]/=2;}}int qmd(int a,int m) { b=1; while(t>0||as[0]>=1) { fff();if(g%2==1) b=a*b%m;a=a*a%m;}printf("%d\n",b);}int main(){    int n;    int w,e,r;    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%s",s);        t=strlen(s);        int p=t-1;        while(p>=0)        {            as[t-1-p]=s[p]-'0';            p--;        }        t--;        qmd(2011,10000);    }    return 0;}
     
    
   

比较神的方法，先打了一个模10000快速幂，发现幂是751，幂是4751，幂是4484484751，幂是4984465461751的答案都是一样的。规律就是后三位只要相同，得到的模10000的数就相同。200位的数什么类型都爆了。所以字符串读入，然后取后三位即可(别忘了本来位数就小于3位的情况啊)。然后快速幂。。

代码：

#include
   
    #include
    
     #include
     
      using namespace std;char s[206];int n,k;int ans[205];int ksm(int a,int b,int c){    int ans=1;    a=a%c;    while(b>0)    {        if(b%2==1)        ans=(ans*a)%c;        b=b/2;        a=(a*a)%c;    }    return ans;}int main(){    int i,j;    cin>>k;    for (j=1;j<=k;j++)    {        n=0;        memset(s,'\0',sizeof(s));        cin>>s;        if (strlen(s)==1) n=s[0]-'0';        else if (strlen(s)==2) n=(s[0]-'0')*10+s[1]-'0';        else if (strlen(s)==3) n=(s[0]-'0')*100+(s[1]-'0')*10+s[2]-'0';        else        for(int i=strlen(s)-4;i<=strlen(s)-1;i++)   n=n*10+(s[i]-'0');        cout<
      
       <